Lineære ligninger

Isolér den ubekendte — flyt led og divider

En lineær ligning er den mest grundlæggende ligningstype. Den ubekendte x optræder kun i første potens — ingen x², ingen x³. Målet er at isolere x.

Tænk på det som en vægt i balance: hvad du gør på den ene side, skal du gøre på den anden. Flyt x-led til venstre, talkonstanter til højre, og divider til sidst med koefficienten foran x.

Tjek ALTID svaret ved at indsætte x i den originale ligning.

Formler

Standardform
\(ax + b = c \implies x = \dfrac{c-b}{a}\)
Ubekendte på begge sider
\(ax + b = cx + d \implies (a-c)x = d-b\)

Eksempler

Eksempel 1\(7x-5=3x+19\)▼
1
Saml x-led
\(7x-3x = 19+5 \Rightarrow 4x = 24\)
2
Divider
\(x = \frac{24}{4} = \textcolor{#ef4444}{6}\)
Eksempel 2Med parentes: \(3(2x+4) = 2(x+10)\)▼
1
Gang parenteserne ud
\(6x+12 = 2x+20\)
2
Saml x-led
\(6x-2x = 20-12 \Rightarrow 4x = 8\)
3
Divider
\(x = \textcolor{#ef4444}{2}\)   Tjek: \(3(8)=24\) og \(2(12)=24\) ✓
Eksempel 3Med brøker: \(\dfrac{x}{3} + 2 = 5\)▼
1
Træk 2 fra begge sider
\(\dfrac{x}{3} = 3\)
2
Gang med 3
\(x = \textcolor{#ef4444}{9}\)
💡 Tjek dit svar! Indsæt x i den originale ligning og kontrollér at begge sider giver det samme. \(7\cdot 6-5 = 37\) og \(3\cdot 6+19 = 37\) ✓

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Isolér x: flyt tal til højre side og led med x til venstre
  • Nøgleord: "løs ligningen", "find x", "bestem den ubekendte"
  • Tjek svaret ved at indsætte x i den originale ligning
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Fortegn ved flytning: \(ax+b=c \Rightarrow ax=c-b\) — b skifter fortegn
  • Glemt at gange parentesen ud: \(3(x+2) = 3x+6\), ikke \(3x+2\)
  • Del HELE ligningen med koefficienten — ikke bare den ene side

Funktionsværdi

Indsæt en x-værdi i forskriften og beregn f(x)

Funktionsværdien f(x₀) er det y-resultat, du får, når du indsætter en bestemt x-værdi i forskriften. Det er den mest grundlæggende operation med funktioner.

Notation: f(3) betyder "hvad er funktionsværdien når x = 3?" — det er IKKE f gange 3. Erstat alle x'er i forskriften med 3 og beregn.

Husk regnerækkefølgen: potenser FØR multiplikation FØR addition (PEMAS).

Formler

Funktionsværdi
Indsæt \(x = x_0\) i \(f(x)\) og beregn resultatet: \(f(x_0)\)

Eksempler

Eksempel\(f(x)=x^2+7\), bestem \(f(3)\)▼
1
Indsæt \(x=3\)
\(f(3) = 3^2+7 = 9+7 = \textcolor{#ef4444}{16}\)
Eksempel 2Kontekst: \(O(x) = 200x - 5000\). Find overskud ved 80 solgte varer.▼
1
Indsæt x = 80
\(O(80) = 200\cdot80 - 5000 = 16000 - 5000 = \textcolor{#ef4444}{11000}\) kr.
Eksempel 3Omvendt: \(f(x) = 3x+6\). For hvilken x er \(f(x) = 21\)?▼
1
Opstil ligning og løs
\(3x+6 = 21 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = \textcolor{#ef4444}{5}\)
⚠️ Faldgrube: Ved negative x: \(f(-3) = (-3)^2+7 = 9+7 = 16\). Husk at \((-3)^2 = 9\), ikke \(-9\).

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Indsæt x-værdien direkte i forskriften og beregn
  • "Bestem f(a)" = indsæt \(x = a\) og beregn
  • Omvendt: givet f(x) = k, løs for x (isolér)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Regnerækkefølge: potenser FØR multiplikation FØR addition
  • \(f(2)\) betyder indsæt \(x=2\) — ikke \(f \cdot 2\)
  • Husk at parentesen gælder hele udtrykket: \(f(-3) = (-3)^2 = 9\), ikke \(-9\)

Lineær funktion

\(f(x) = a\cdot x + b\) — hældning og skæring med y-aksen

En lineær funktion \(f(x) = ax + b\) er en ret linje. Grafen stiger, falder eller er vandret afhængigt af hældningskoefficienten a.

Hvad betyder a og b? a er hældningen — for hver enhed x stiger, ændres y med a. b er skæringen med y-aksen — den y-værdi grafen har, når x = 0.

I kontekst: hvis en taxa koster 20 kr. at stige på og 5 kr./km, er b = 20 (startpris) og a = 5 (km-pris).

a = hældning b = skæring m. y-aksen

Formler

Hældning fra to punkter
\(\textcolor{#3b82f6}{a} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Skæring med y-aksen
\(\textcolor{#10b981}{b} = y_1 - \textcolor{#3b82f6}{a}\cdot x_1\)
Fortolkning
\(a\): "Hvor meget stiger y, når x stiger med 1"
\(b\): "Værdien af y, når \(x=0\)"

Eksempler

EksempelBestem a og b fra tabel: \(f(-2)=1\), \(f(2)=3\)▼
1
Find a
\(a = \frac{3-1}{2-(-2)} = \frac{2}{4} = \textcolor{#3b82f6}{0{,}5}\)
2
Find b
\(b = 1 - 0{,}5\cdot(-2) = 1+1 = \textcolor{#10b981}{2}\)
3
Forskrift
\(f(x) = \textcolor{#ef4444}{0{,}5x+2}\)
Eksempel 2Kontekst: En taxa koster 20 kr. at stige på + 5 kr./km. Opstil og aflæs.▼
1
Identificér a og b
\(a = 5\) (5 kr. pr. km),   \(b = 20\) (startpris)
2
Forskrift
\(f(x) = 5x + 20\)
3
Pris for 8 km
\(f(8) = 5\cdot8+20 = \textcolor{#ef4444}{60}\) kr.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • "Bestem a og b" fra en tabel eller to punkter
  • "Forklar hvad tallet a fortæller" → hældningens betydning i konteksten
  • "Tegn grafen" → aflæs b på y-aksen, brug a til at gå ét skridt
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Bytter om på x og y i hældningsformlen
  • Glemmer at fortolke a og b i konteksten (kr. pr. m², startpris osv.)
  • \(a < 0\): aftagende funktion — grafen går nedad

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Find a (hældning) og b (skæring) — nøgleord: "lineær", "ret linje", "y=ax+b"
  • To punkter givet: \(a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), find b ved indsætning
  • Graf skærer y-aksen i \((0, b)\) og stiger/falder med a per enhed
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Hældning: tæller er forskel i y, nævner er forskel i x — ikke omvendt
  • \(b\) er skæring med y-aksen — sæt \(x=0\) for at finde den
  • Negativ hældning = aftagende funktion — grafen hælder nedad mod højre

Eksponentiel vækst

\(f(x)=b\cdot a^x\) — fordobling, halvering og vækstrate

Eksponentiel vækst bruges, når noget ændrer sig med en fast procent i hvert tidsskridt — ikke et fast beløb (det ville være lineær). Eksempler: renters rente, befolkningsvækst, bakterier.

Nøglen: fremskrivningsfaktoren a = 1 + vækstraten. Stiger noget med 7%? Ganger du med 1,07 hvert år. Falder det med 12%? Ganger du med 0,88.

b er startværdien — det tal der bruges når x = 0.

b = startværdi a = fremskrivningsfaktor

Formler

Eksponentiel funktion
\(f(x) = \textcolor{#3b82f6}{b}\cdot \textcolor{#10b981}{a}^x\), vækstrate \(r = a-1\)
Fordoblingstid
\(T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln a}\)   (kræver \(a > 1\))
Halveringstid
\(T_{1/2} = \dfrac{-\ln 2}{\ln a}\)   (kræver \(a < 1\))
Fra procent til a
Stiger med 15% → \(a = 1{,}15\). Falder med 8% → \(a = 0{,}92\).

Eksempler

Eksempel"9400 ansatte, stiger 15% om året" — bestem a og b▼
1
Startværdi
\(b = 9400\) (antallet ved start)
2
Fremskrivningsfaktor
Stiger 15% → \(a = 1+0{,}15 = \textcolor{#10b981}{1{,}15}\)
3
Forskrift
\(f(x) = \textcolor{#ef4444}{9400\cdot 1{,}15^x}\)
Eksempel 2Fordoblingstid: Hvornår er 9400 vokset til 18800?▼
1
Brug fordoblingstidsformlen
\(T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}15} = \dfrac{0{,}693}{0{,}140} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}96 \text{ år}}\)
Eksempel 3Henfald: Et stof mister 8% pr. time. Start: 500 g. Opstil model.▼
1
Falder 8% → a = 1 − 0,08 = 0,92
\(f(t) = 500\cdot 0{,}92^t\)
2
Halvering: efter ca. 8,3 timer
\(T_{1/2} = \dfrac{-\ln 2}{\ln 0{,}92} \approx \textcolor{#ef4444}{8{,}3 \text{ timer}}\)

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • "Bestem a og b" fra kontekst (startantal + procentvis ændring)
  • "Bestem fordoblingstiden" → brug ln-formlen
  • "Hvad fortæller tallet a/b?" → fortolk i konteksten
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Vækstrate 15% → \(a=1{,}15\), IKKE \(a=15\) eller \(a=0{,}15\)
  • \(a < 1\) er henfald (halveringstid), \(a > 1\) er vækst (fordoblingstid)
  • b er startværdien — det tal der står FORAN \(a^x\)

Procentregning & rente

Procent af, procentvis stigning/fald og renters rente

Procentregning er fundamental i dagligdagen: rabatter, lønstigninger, renter, skatter. Ordet "procent" betyder "ud af hundrede" — 7% = 7/100 = 0,07.

Renters rente (opsparing, lån) er eksponentiel vækst: du tjener rente af renten du allerede har optjent. Formlen \(K_n = K_0 \cdot (1+r)^n\) beregner beløbet efter n perioder.

Pas på: 5% rente giver r = 1,05 — ikke r = 0,05. Faktoren inkluderer dit startbeløb (1) plus renten (0,05).

Formler

Procent af
\(p\%\) af \(K\) = \(K\cdot\frac{p}{100}\)
Renters rente
\(K_n = K_0\cdot(1+r)^n\), hvor \(r\) er renten som decimaltal

Eksempler

Eksempel14000 kr., 3% rente, 5 år▼
1
\(K_5 = 14000\cdot 1{,}03^5 = 14000\cdot 1{,}1593 \approx \textcolor{#ef4444}{16230}\) kr.
Eksempel 2Tilbageregning: Du vil have 100.000 kr. om 10 år. Rente = 4%. Hvad indsætter du nu?▼
1
Isolér K₀ i formlen
\(K_0 = \dfrac{K_n}{(1+r)^n} = \dfrac{100000}{1{,}04^{10}}\)
2
\(K_0 = \dfrac{100000}{1{,}4802} \approx \textcolor{#ef4444}{67.556}\) kr.
Eksempel 3 — faldgrubeEn vare koster 800 kr., stiger 20%, falder 20%. Hvad koster den nu?▼
1
Stigning: 800 · 1,20 = 960 kr.
2
Fald: 960 · 0,80 = 768 kr.
\(\textcolor{#ef4444}{768 < 800}\) — stigning og fald med SAMME procent giver IKKE det samme beløb!
💡 Husk: Renters rente = eksponentiel vækst. 3% rente pr. år svarer til \(a = 1{,}03\).

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Renteformlen: \(K_n = K_0 \cdot r^n\) — \(r = 1 + \text{rente}\)
  • "Hvornår er beløbet fordoblet?" — løs \(r^n = 2\) for n
  • Tilbagediskontering: \(K_0 = \dfrac{K_n}{r^n}\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Vækstfaktoren: 5% rente giver \(r = 1{,}05\), ikke \(r = 0{,}05\)
  • Antal perioder: \(n\) er antal gange renten tilskrives, ikke antal år
  • Renters rente: \(K_0 \cdot r^n \neq K_0 + n \cdot r \cdot K_0\) — brug potensen

Boksplot & kvartilsæt

Det udvidede kvartilsæt: min, Q₁, median, Q₃, max

Boksplottet er en kompakt grafisk fremstilling af et datasæt. Det viser, hvordan data er fordelt uden at vise alle enkeltmålinger.

De fem tal i det udvidede kvartilsæt: minimum, Q1 (25%-fraktil), median (50%), Q3 (75%-fraktil), maksimum. Kvartilbredden KB = Q3 − Q1 er et mål for spredningen i midterste halvdel.

En outlier er en usædvanlig observation — tjek om den er over Q3 + 1,5·KB eller under Q1 − 1,5·KB.

Formler

Udvidet kvartilsæt
Minimum, \(Q_1\), Median, \(Q_3\), Maksimum
Kvartilbredde
\(KB = Q_3 - Q_1\)
Outlier
Outlier hvis \(x > Q_3 + 1{,}5\cdot KB\) eller \(x < Q_1 - 1{,}5\cdot KB\)

Eksempler

EksempelKvartilsæt: 13, 13,7, 14,0, 14,5, 15,0 — er max en outlier?▼
1
Kvartilbredde
\(KB = 14{,}5-13{,}7 = 0{,}8\)
2
Øvre grænse
\(Q_3 + 1{,}5\cdot KB = 14{,}5+1{,}2 = 15{,}7\)
3
\(15{,}0 < 15{,}7\) → ikke en outlier
Eksempel 2Hvad fortæller boksplottet? Min=13, Q₁=14, Median=15, Q₃=17, Max=20.▼
1
Kvartilbredde
\(KB = 17-14 = 3\)
2
Er max=20 en outlier?
Grænse: \(17 + 1{,}5\cdot3 = 17+4{,}5 = 21{,}5\)
\(20 < 21{,}5\) → ikke en outlier
3
Aflæs
50% af data ligger mellem 14 og 17. Medianen (15) er tæt på midten af boksen → nogenlunde symmetrisk.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • "Bestem det udvidede kvartilsæt" — aflæs 5 tal fra boksplottet
  • "Bestem kvartilbredden" → \(KB = Q_3-Q_1\)
  • "Er den højeste værdi en outlier?" → tjek om den er over \(Q_3+1{,}5\cdot KB\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Kvartilbredde er IKKE max−min — det er Q₃−Q₁
  • Medianen er IKKE gennemsnittet — det er den midterste observation
  • Boksens venstre kant = Q₁, højre kant = Q₃, streg inde i boksen = median
p%-fraktilen: den x-værdi hvor p% af observationerne ligger under.
Median = 50%-fraktil. \(Q_1\) = 25%-fraktil. \(Q_3\) = 75%-fraktil.

Eksempler

EksempelAflæs median fra sumkurve▼
1
Gå ind på y-aksen ved 50%
2
Træk en vandret linje til kurven, derefter lodret ned til x-aksen
Aflæsningen er medianen.
💡 Huskereglen: Sumkurven viser "hvor stor en andel der er UNDER en bestemt x-værdi". Gå altid fra y-aksen (procent) vandret til kurven, derefter lodret ned.

Sandsynlighed

Simpel sandsynlighed og multiplikationsprincippet

Sandsynlighed udtrykker, hvor sandsynligt det er at en hændelse sker. Det er et tal mellem 0 (umuligt) og 1 (sikkert). Sandsynlighed 0,3 betyder 30% chance.

I et symmetrisk udfaldsrum (fx en terning) er alle udfald lige sandsynlige, og formlen er enkel: antal gunstige / antal mulige.

Komplementregning: \(P( ext{ikke A}) = 1 - P(A)\). Det er tit nemmere at beregne hvad der IKKE sker.

Formler

Sandsynlighed
\(P(A) = \dfrac{\text{antal gunstige}}{\text{antal mulige}}\)
Multiplikationsprincippet
Uafhængige hændelser: \(P(A \text{ og } B) = P(A)\cdot P(B)\)

Eksempler

Eksempel10-sidet terning: P(vinde) = 3/10. To spil — vinde begge?▼
1
\(P(\text{begge}) = \frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10} = \frac{9}{100} = \textcolor{#ef4444}{0{,}09}\)
Eksempel 2Komplement: P(vinde) = 0,35. Hvad er sandsynligheden for at tabe?▼
1
Brug komplementreglen
\(P(\text{tabe}) = 1 - P(\text{vinde}) = 1 - 0{,}35 = \textcolor{#ef4444}{0{,}65}\)
Eksempel 3I en klasse: P(dreng)=0,55, P(briller)=0,30, P(dreng og briller)=0,15. Find P(dreng ELLER briller).▼
1
Additionsreglen
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\)
2
\(= 0{,}55 + 0{,}30 - 0{,}15 = \textcolor{#ef4444}{0{,}70}\)
⚠️ Vigtigt: Multiplikation gælder kun for uafhængige hændelser — dvs. det ene udfald påvirker ikke det andet.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Sandsynlighed: antal gunstige / antal mulige i symmetrisk udfaldsrum
  • Komplement: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
  • Betinget: "givet at A er sket" — brug \(P(B|A) = P(A\cap B) / P(A)\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Sandsynlighed er altid mellem 0 og 1 — aldrig negativ eller over 1
  • \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) — ikke bare \(P(A)+P(B)\)
  • Hændelserne er ikke altid lige sandsynlige — tjek konteksten

Potensfunktion

\(f(x) = b\cdot x^a\) — indsæt og beregn

En potensfunktion \(f(x) = b \cdot x^a\) har x som grundtal (i modsætning til eksponentiel, hvor a er grundtal og x er eksponent). De bruges til at beskrive naturlove og sammenhænge i biologi og økonomi.

Startværdien er f(1) = b — ikke f(0) som ved eksponentielle funktioner. Eksponenten a bestemmer kurvens "form": a > 1 (konveks), a = 1 (lineær), 0 < a < 1 (konkav), a < 0 (aftagende).

Formler

Potensfunktion
\(f(x) = b\cdot x^a\)
\(a > 1\): vækst hurtigere end lineær. \(0 < a < 1\): vækst langsommere. \(a < 0\): aftagende.
Specielle tilfælde
\(x^{0{,}5} = \sqrt{x}\)   \(x^{0{,}25} = \sqrt[4]{x}\)   \(x^{-1} = \frac{1}{x}\)

Eksempler

Eksempel\(H = 52{,}56\cdot x^{0{,}2}\), find H for x = 0,8▼
1
\(H = 52{,}56\cdot 0{,}8^{0{,}2} = 52{,}56\cdot 0{,}9564 \approx \textcolor{#ef4444}{50{,}3}\)
💡 Du har brug for en lommeregner til at beregne \(x^a\) når a ikke er et helt tal. Tast: \(0{,}8\) ^ \(0{,}2\) =

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Model: \(f(x) = b \cdot x^a\) — lineær i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem
  • Find a og b: log-log regression på lommeregneren
  • Nøgleord: "potensmodel", "power model", log-log lineær sammenhæng
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Potensmodel ≠ eksponentiel model: \(b\cdot x^a\) vs \(b\cdot a^x\)
  • a er eksponenten — den angiver "hastigheden" af væksten
  • Startværdi \(f(1) = b\) (ikke f(0) som ved eksponentiel)

Ensvinklede trekanter

Skalafaktor og ukendte sider via forholdslighed

To trekanter er ensvinklede, hvis de har alle tre vinkler ens. Så er de "ens formet" men ikke nødvendigvis ens store. Det vigtige: sidelængderne er proportionale.

Skalafaktoren k = (stor side) / (tilsvarende lille side) gælder for ALLE sider. Match altid tilsvarende sider — sider der ligger over for de samme vinkler.

Husk: areal skalerer med k² — dobbelt så store sider giver fire gange så stort areal.

Formler

Skalafaktor
\(k = \dfrac{\text{side i stor trekant}}{\text{tilsvarende side i lille trekant}}\)
Ukendt side
Stor side = lille side \(\cdot k\)   eller   Lille side = stor side \(\div k\)

Eksempler

EksempelSider 6 og 2,5 i lille △, side 18 i stor △▼
1
Skalafaktor
\(k = \frac{18}{6} = 3\)
2
Ukendt side
\(B_1C_1 = 2{,}5\cdot 3 = \textcolor{#ef4444}{7{,}5}\)
⚠️ Faldgrube: Match de TILSVARENDE sider korrekt. Sider der ligger over for ens vinkler svarer til hinanden.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Ensvinklede trekanter: alle tre vinkler er ens → sidelængder proportionale
  • Opstil proportionen: \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\)
  • AA-kriteriet: to vinkler ens → trekanterne er ensvinklede
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Ensvinklet ≠ ligestore: ensvinklede trekanter har IKKE nødvendigvis samme sider
  • Sæt proportionen op korrekt — sæt tilsvarende sider overfor hinanden
  • Skalaforholdet gælder for sider, ikke arealer (areal: skalafaktor kvadreret)

Trekantberegning

Areal, cosinusrelation og sinusrelation

Trekantberegning handler om at finde ukendte sider og vinkler. Metoden afhænger af hvad du kender:

Formler

Areal (grundlinje · højde)
\(T = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h\)
Areal (to sider + vinkel)
\(T = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)\)
Cosinusrelationen
\(c^2 = a^2+b^2-2ab\cos(C)\)

Eksempler

EksempelAreal: \(a=7\), \(b=10\), \(\angle C=60°\)▼
1
\(T = \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 10\cdot\sin(60°) = 35\cdot 0{,}866 \approx \textcolor{#ef4444}{30{,}3}\)
Eksempel 2Cosinusrelation: a=5, b=7, C=40°. Find siden c.▼
1
Indsæt i formlen
\(c^2 = 5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos(40°) = 25+49-70\cdot0{,}766 = 74-53{,}6 = 20{,}4\)
2
Tag kvadratroden
\(c = \sqrt{20{,}4} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}52}\)
Eksempel 3Retvinklet: Find den ukendte side. Hypotenusen = 10, én katete = 6.▼
1
Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\)
\(6^2 + b^2 = 10^2 \Rightarrow b^2 = 100-36 = 64\)
2
\(b = \sqrt{64} = \textcolor{#ef4444}{8}\)
💡 Vælg den rigtige formel: Kender du grundlinje + højde → brug \(\frac{1}{2}gh\). Kender du to sider + mellemvinkel → brug \(\frac{1}{2}ab\sin C\). Kender du tre sider → brug cosinusrelationen til vinkler.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Retvinklet trekant: Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\), sinus/cosinus/tangens
  • Vilkårlig trekant: sinusrelationen, cosinusrelationen, areal \(= \frac{1}{2}ab\sin C\)
  • Nøgleord: "bestem siden/vinklen", "retvinklet", "vilkårlig trekant"
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Pythagoras gælder KUN for retvinklede trekanter — tjek om der er en ret vinkel
  • \(\tan\theta = \text{modstående}/\text{hosliggende}\) — ikke omvendt
  • Cosinusrelation: husk at der er tre udgaver — brug den der passer til det kendte

Kombinatorik

Antal måder at vælge r elementer fra n

Kombinatorik handler om at tælle, på hvor mange måder man kan vælge elementer. Det grundlæggende spørgsmål: Har rækkefølgen betydning?

Faktorial: n! = n · (n-1) · ... · 2 · 1. Eks: 4! = 24. Og 0! = 1 pr. definition.

Formler

Kombination (rækkefølge ligegyldig)
\(K(n,r) = \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

Eksempler

EksempelVælg 2 fra 20 elever▼
1
\(K(20,2) = \frac{20\cdot 19}{2\cdot 1} = \frac{380}{2} = \textcolor{#ef4444}{190}\)
Eksempel 2P(alle 3 piger) ud af klasse med 12 piger og 8 drenge?▼
1
Gunstige: vælg 3 piger ud af 12
\(\binom{12}{3} = \dfrac{12\cdot11\cdot10}{6} = 220\)
2
Mulige: vælg 3 ud af 20
\(\binom{20}{3} = \dfrac{20\cdot19\cdot18}{6} = 1140\)
3
\(P = \dfrac{220}{1140} \approx \textcolor{#ef4444}{19{,}3\%}\)
💡 Genvej for K(n,2): \(\frac{n\cdot(n-1)}{2}\). For K(n,3): \(\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\).

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Kombination: rækkefølgen er ligegyldig — "vælg k ud af n"
  • Permutation: rækkefølgen betyder noget — "k pladser ud af n"
  • Brug formlerne: \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Kombination ≠ permutation: er rækkefølgen vigtig? Nej → kombination
  • \(\binom{7}{3} = \binom{7}{4}\) — vælg den mindste k for nemmere beregning
  • Factorial: \(5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120\), og \(0! = 1\)

Lineær regression

Find den bedste rette linje med CAS og fortolk

Lineær regression finder den "bedst passende" rette linje \(\hat{y} = ax + b\) gennem et datasæt. Linjen minimerer de kvadrerede afvigelser fra datapunkterne.

Brug altid CAS eller lommeregner — beregn ikke a og b i hånden. Det vigtige er at fortolke a og b i konteksten og vurdere modellens kvalitet.

Husk: korrelation er IKKE kausalitet. At is-salg og druknedøde korrelerer, skyldes det varme vejr — ikke isen.

Formler

Regressionslinje
\(\hat{y} = a\cdot x + b\) — beregnes med CAS/lommeregner
Fortolkning
\(a\): gennemsnitlig ændring i y pr. enhed x øges
\(b\): forudsagt y-værdi når \(x=0\)
Residual
\(e = y_{\text{obs}} - \hat{y}\) (observeret minus forudsagt)

Eksempler

Eksempel\(\hat{y}=0{,}16x-1{,}5\), find \(\hat{y}\) for \(x=10000\)▼
1
\(\hat{y} = 0{,}16\cdot 10000-1{,}5 = 1600-1{,}5 = \textcolor{#ef4444}{1598{,}5}\)

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen
  • Eksponentiel regression: find \(a\) og \(b\) i \(f(x) = b\cdot a^x\) fra data
  • Semi-log: data er lineær i semi-logaritmisk koordinatsystem
  • Vurdér modellen: plot residualer eller sammenlign \(r^2\)
⚠️ Klassiske eksamensfejl
  • Vækstfaktor \(a > 1\): vækst. \(0 < a < 1\): forfald
  • Brug regression på lommeregner — udfør ikke beregningen i hånden
  • Fortolk \(b\): det er startværdien \(f(0) = b\)
Eksempel 2\(\hat{y} = 2500x - 50000\) (huspriser kr., x = areal m²). Fortolk a og b.▼
1
Fortolk a = 2500
For hvert ekstra m² stiger prisen gennemsnitligt med 2500 kr.
2
Fortolk b = −50000
Matematisk startværdi ved 0 m² — meningsløs i praksis. Modellen er kun gyldig inden for dataintervallet.
⚠️ Faldgrube: Regression er IKKE kausalitet. At der er en sammenhæng betyder ikke at x forårsager y.