Lineære ligninger

Isolér den ubekendte — flyt led og divider

En lineær ligning har den ubekendte kun i første potens. Målet er at isolere x ved at udføre de samme operationer på begge sider af lighedstegnet — ligesom at holde en vægt i balance.

Strategi: udvid parenteser → flyt x-led til venstre → flyt konstanter til højre → divider med koefficienten. Husk: når du flytter et led over lighedstegnet, skifter det fortegn.

Tjek altid svaret ved at indsætte x i den originale ligning.

Formler

Standardform

\(ax + b = c \implies x = \dfrac{c-b}{a}\)

Ubekendte på begge sider

\(ax + b = cx + d \implies (a-c)x = d-b\)

Eksempler

Eksempel 1\(5x - 3 = 2x + 9\)▼

1

Saml x-led
\(5x - 2x = 9 + 3 \Rightarrow 3x = 12\)

2

Divider
\(x = \frac{12}{3} = \textcolor{#ef4444}{4}\)

Eksempel 2\(3(2x+1) = 5x - 4\)▼

1

Udvid parentesen
\(6x + 3 = 5x - 4\)

2

Isolér x
\(6x - 5x = -4 - 3 \Rightarrow x = \textcolor{#ef4444}{-7}\)

3

Tjek
\(3(2\cdot(-7)+1) = 3\cdot(-13)=-39\) og \(5\cdot(-7)-4=-39\) ✓

Eksempel 3Med brøker: \(\dfrac{x}{3} + 2 = 5\)▼

1

Træk 2 fra begge sider
\(\dfrac{x}{3} = 3\)

2

Gang med 3
\(x = \textcolor{#ef4444}{9}\) Tjek: \(9/3 + 2 = 3 + 2 = 5\) ✓

💡 Tjek dit svar! Indsæt x i den originale ligning: \(5\cdot 4-3=17\) og \(2\cdot 4+9=17\) ✓

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Opgaven giver en ligning med ét ubekendt og beder dig finde x
Nøgleord: "løs ligningen", "bestem x", "find den ubekendte"
Parenteser: udvid dem FØR du samler x-led

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Tegn-fejl ved flytning: \(ax+b=c \Rightarrow ax=c-b\) — b skifter fortegn
Glemt at gange parentesen ud: \(3(x+2) \neq 3x+2\) — husk \(3x+6\)
Dividerer med 0 — tjek altid at koefficienten foran x ikke er 0

Differentiering

Find den afledte funktion f′(x) — Mat B-niveau

Den afledte f′(x) beskriver hældningen af grafen i hvert punkt — altså med hvilken hastighed funktionen ændrer sig. Det er fundamentet for monotoniforhold, ekstrema og tangentligninger.

På B-niveau bruger du primært potensreglen, e-funktionen, ln og kædereglen. Kædereglen gælder, når der er noget inde i noget — fx \(e^{g(x)}\) eller \(\ln(g(x))\).

Husk: brøker og rødder omskrives til potensform FØR differentiering — \( frac{1}{x} = x^{-1}\) og \(\sqrt{x} = x^{0{,}5}\).

Formler

Potensreglen

\(\dfrac{d}{dx}\bigl[a \cdot x^{n}\bigr] = a \cdot n \cdot x^{n-1}\)

Konstant gange funktion

\((k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x)\)

Sum

\((f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\)

Eksponentialfunktion

\(\dfrac{d}{dx}\bigl[e^{kx}\bigr] = k \cdot e^{kx}\)

Eksempler

Eksempel 1Potensreglen: \(f(x) = 4x^3 - 2x + 7\)▼

1

Differentier led for led
\(f'(x) = 4\cdot 3\cdot x^{2} - 2\cdot 1 + 0 = \textcolor{#ef4444}{12x^2 - 2}\)

Eksempel 2\(f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}\)▼

1

Omskriv og brug potensreglen
\(f'(x) = -1\cdot x^{-2} = \textcolor{#ef4444}{-\frac{1}{x^2}}\)

Eksempel 3\(f(x) = \ln(3x^2+1)\)▼

1

Identificér ydre og indre funktion
Ydre: \(\ln(u)\), indre: \(g(x)=3x^2+1\)

2

Differentier kædereglen
\(f\'(x) = \dfrac{g\'(x)}{g(x)} = \dfrac{6x}{3x^2+1}\)

Eksempel 4Produktregel: \(f(x) = x^2 \cdot e^{2x}\)▼

1

Navngiv u og v
\(u = x^2,\ u\'=2x\) \(v = e^{2x},\ v\'=2e^{2x}\)

2

\((uv)\' = u\'v + uv\'\)
\(f\'(x) = 2x\cdot e^{2x} + x^2\cdot 2e^{2x} = \textcolor{#ef4444}{2xe^{2x}(1+x)}\)

💡 Huskeregel: Konstanter forsvinder, og \(x\) differentieret giver 1. Husk at omskrive brøker og rødder til potenser først.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Kædereglen: når du ser \(e^{g(x)}\), \(\ln(g(x))\), \(\sin(g(x))\) eller \((g(x))^n\)
Produktregel: to funktioner ganget sammen — \(u(x) \cdot v(x)\)
Simple tilfælde: \(ax^n\), \(ae^{bx}\), \(a\sin(bx)\) — brug direkte formler

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Glemmer den indre afledte: \((\sin(3x))\' = 3\cos(3x)\), ikke bare \(\cos(3x)\)
\((\cos u)\' = -\sin(u) \cdot u\'\) — husk minustegnet!
\((\ln(g))\' = \frac{g\'}{g}\) — tælleren er \(g\'(x)\), ikke 1

Algebra

Regn med parenteser, kvadratsætninger og brøker

Algebra er "sproget" i matematik — evnen til at forenkle og omskrive udtryk. Det bruges som grundlag i alle andre emner: differentiering, ligninger, og areal.

De tre kvadratsætninger er fundamentale. Vær særlig opmærksom på den første: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) — midtleddet \(2ab\) glemmes meget hyppigt.

I brøker kan du kun forkorte faktorer — aldrig adderede led. \( frac{x+3}{x} eq 3\), men \( frac{x(x+3)}{x} = x+3\).

Formler

1. kvadratsætning

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

2. kvadratsætning

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

3. kvadratsætning

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

Eksempler

EksempelUdvid \((3x+5)^2\)▼

1

Brug 1. kvadratsætning
\(a=3x,\; b=5\)
\((3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 5 + 5^2 = \textcolor{#ef4444}{9x^2 + 30x + 25}\)

Eksempel 2Reducer \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\)▼

1

Faktorisér tælleren
\(x^2-9 = (x+3)(x-3)\)

2

Forkort med \((x+3)\)
\(\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3} = \textcolor{#ef4444}{x-3}\) (\(x \neq -3\))

Eksempel 3Potensregler: \(\dfrac{x^5}{x^2}\) og \((x^2)^3\)▼

1

\(\dfrac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = \textcolor{#ef4444}{x^3}\)

2

\((x^2)^3 = x^{2\cdot3} = \textcolor{#ef4444}{x^6}\)

⚠️ Faldgrube: \((a+b)^2 \neq a^2+b^2\). Man glemmer dobbeltproduktet \(2ab\).

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Reducer: forenkl ved at faktorisere og forkorte — se efter \(a^2-b^2\)
Udvid: brug kvadratsætninger \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)
Potensregler: \(\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\), \(\;x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)

⚠️ Klassiske eksamensfejl

\((a+b)^2 \neq a^2+b^2\) — midtleddet \(2ab\) glemmes meget hyppigt!
\(\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b\) — kvadratroden fordeler sig ikke over plus
Forkorte ulovligt: \(\dfrac{x+3}{x} \neq 3\) — kun faktorer kan forkortes

Andengradspolynomium

\(f(x)=ax^2+bx+c\) — toppunkt, rødder og diskriminant

Et andengradspolynomium \(f(x) = ax^2 + bx + c\) har en parabolsk graf — den åbner opad hvis \(a > 0\), nedad hvis \(a < 0\).

Diskriminanten \(d = b^2-4ac\) fortæller alt om rødderne: to (\(d>0\)), én (\(d=0\)) eller ingen reelle rødder (\(d<0\)). Toppunktet er symmetriaksen \(x_T = -b/(2a)\) — og det er altid midtvejs mellem de to rødder.

Husk: \(-b\) i røddernes formel, ikke \(b\). Og begge led i tælleren divideres med \(2a\).

a = åbning b = hældning c = skæring

Formler

Diskriminant

\(d = b^2 - 4ac\)

Rødder

\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}\)

Toppunkt

\(T = \left(-\dfrac{b}{2a},\; -\dfrac{d}{4a}\right)\)

Eksempler

Eksempel\(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\)▼

1

Diskriminant
\(d = (-8)^2 - 4\cdot 2\cdot 6 = 64-48 = \textcolor{#3b82f6}{16}\)

2

Rødder
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{8 \pm 4}{4}\)
\(x_1 = \textcolor{#10b981}{3},\quad x_2 = \textcolor{#10b981}{1}\)

3

Toppunkt
\(T_x = -\frac{-8}{2\cdot2} = 2,\quad T_y = -\frac{16}{8} = -2\)
Toppunkt: \(\textcolor{#ef4444}{(2,\,-2)}\)

Eksempel 2Skæring med x-aksen for \(f(x) = 2x^2+3x-5\)▼

1

Beregn diskriminanten
\(d = 3^2 - 4\cdot2\cdot(-5) = 9+40 = 49\)

2

Find rødderne
\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \dfrac{-3 \pm 7}{4}\)

3

De to løsninger
\(x_1 = 1\) og \(x_2 = \textcolor{#ef4444}{-2{,}5}\)

Eksempel 3Antal løsninger: \(f(x) = x^2 + 2x + 5\)▼

1

Beregn diskriminanten
\(d = 2^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16\)

2

\(d < 0\): ingen reelle rødder
Grafen skærer ikke x-aksen. Parabel åbner opad (a=1>0) og ligger helt over x-aksen.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

\"Bestem rødderne\" — brug diskriminantformlen
\"Bestem toppunkt\" — brug formlen eller differentier
\"Bestem forskriften ud fra toppunkt og ét punkt\"

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Glemmer minustegn: \(-b\) i rødderne, ikke \(b\)
\(d < 0\): ingen reelle rødder — grafen krydser ikke x-aksen
Forveksler toppunkt-formlen med røddernes

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Diskriminant: \(d > 0\) giver 2 rødder, \(d = 0\) giver 1 rod, \(d < 0\) ingen reelle
Toppunkt: \(x_T = -\dfrac{b}{2a}\), indsæt for at finde \(y_T\)
Antal løsninger: brug tegnet på \(d\) — ingen beregning nødvendig

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Tegn i formlen: \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}\) — husk \(-b\), ikke \(b\)
Dividerer kun deler af tælleren: \(\dfrac{-b + \sqrt{d}}{2a}\) — begge led deles med \(2a\)
Glemmer at \(a\) er koefficienten foran \(x^2\) — tjek at ligningen starter med \(ax^2\)

Cirklens ligning

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) — centrum og radius

En cirkel er stedet for alle punkter med fast afstand \(r\) til centrum \(C(a,b)\). Normalformen \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) viser centrum og radius direkte.

Kvadratkomplettering bruges, når ligningen ikke er på normalform. Halvér koefficienten foran \(x\) (og \(y\)), kvadrer, tilføj/subtrahér. Centrum aflæses med modsat fortegn: \((x-3)^2\) giver centrum \(x=+3\).

Formler

Cirklens ligning

\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)

Centrum og radius

Centrum \(C=(a,b)\), radius \(r\)

Tangent i punkt P

Tangenten i \(P=(x_0,y_0)\) er vinkelret på radius \(CP\)

Eksempler

Eksempel\(x^2+y^2-6x+4y-12=0\)▼

1

Kvadratkomplettering i x
\(x^2-6x = (x-3)^2-9\)

2

Kvadratkomplettering i y
\(y^2+4y = (y+2)^2-4\)

3

Saml
\((x-3)^2+(y+2)^2 = 9+4+12 = 25\)
Centrum \(\textcolor{#ef4444}{(3,-2)}\), radius \(\textcolor{#ef4444}{5}\)

Eksempel 2Bestem centrum og radius for \(x^2+y^2-6x+4y-3=0\)▼

1

Kompleter kvadraterne
\((x^2-6x+9) + (y^2+4y+4) = 3+9+4\)

2

Normalform
\((x-3)^2 + (y+2)^2 = 16\)

3

Aflæs
Centrum \(C(3,-2)\), radius \(r = \textcolor{#ef4444}{4}\)

💡 Tip: Hvis ligningen er udfoldet, brug kvadratkomplettering. Halver koefficienten foran x/y for at finde centrum.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Normalform: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) — centrum \((a,b)\), radius \(r\)
Ligning uden normalform: kompletér kvadraterne til at finde centrum og radius
Punkt på cirkel: indsæt og tjek om afstand til centrum \(= r\)

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Tegnet på centrum: \((x-3)^2\) giver centrum \(x=\textbf{+}3\), ikke \(-3\)
\(r = \sqrt{r^2}\) — husk at tage kvadratroden for at finde radius
Komplettering: \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\) — man skal trække \(9\) fra igen

Vektorer i planen

Skalarprodukt, længde, vinkel og ortogonalitet

En vektor er en størrelse med både størrelse og retning. Skalarproduktet er et tal (ikke en vektor!) og bruges til at finde vinkler og tjekke ortogonalitet.

Tværvektoren til \(inom{a}{b}\) er \(inom{-b}{a}\) — byt og skift ét fortegn. Den er vinkelret på den originale vektor og bruges til at opstille linjeligninger.

Husk: \(ec{AB} = B - A\) (slutpunkt minus startpunkt).

Formler

Vektor mellem to punkter

\(\vec{AB} = \binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\)

Længde

\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

Skalarprodukt

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\)

Vinkel mellem vektorer

\(\cos v = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

Ortogonalitet

\(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0\)

Eksempler

EksempelFind vinklen mellem \(\vec{a}=\binom{3}{4}\) og \(\vec{b}=\binom{-1}{2}\)▼

1

Skalarprodukt
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot(-1)+4\cdot 2 = -3+8 = 5\)

2

Længder
\(|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5,\quad |\vec{b}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)

3

Vinkel
\(\cos v = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow v = \textcolor{#ef4444}{63{,}4°}\)

Eksempel 2Normalvektor og linjens ligning. \(\vec{v} = \binom{3}{-2}\), punkt \(P(1,4)\)▼

1

Find normalvektor
\(\vec{n} = \binom{2}{3}\) (byt koordinater og skift ét fortegn)

2

Opstil ligningen
\(2(x-1) + 3(y-4) = 0\)

3

Reducér
\(2x + 3y = \textcolor{#ef4444}{14}\)

Eksempel 3Er \(\vec{a}=\binom{4}{-3}\) og \(\vec{b}=\binom{3}{4}\) ortogonale?▼

1

Beregn skalarproduktet
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot3 + (-3)\cdot4 = 12-12 = 0\)

2

Skalarprodukt = 0 → ortogonale
Ja, \(\vec{a} \perp \vec{b}\) ✓ (Bemærk: \(\vec{b}\) er tværvektoren til \(\vec{a}\))

⚠️ Faldgrube: Skalarproduktet er et tal, ikke en vektor. Ortogonale vektorer har skalarprodukt 0.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Skalarprodukt \(= 0\) ↔ vektorer er ortogonale (vinkelrette)
Tværvektor til \(\binom{a}{b}\) er \(\binom{-b}{a}\) — byt og skift fortegn
Projektion: \(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\)

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Skalarproduktet: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\) — ingen krydsled
Tværvektor: \(\binom{3}{4}^\perp = \binom{-4}{3}\) — IKKE \(\binom{4}{-3}\)
Vektor fra A til B: \(\vec{AB} = B - A\) — i rigtig rækkefølge

Kombinatorik

Permutationer, kombinationer og multiplikationsprincippet

Kombinatorik handler om at tælle struktureret. Det afgørende spørgsmål er: Har rækkefølgen betydning?

Ja → Permutation: 1., 2., 3. plads, PIN-kode, anagram
Nej → Kombination: komité, hold, korthand, lotterital

Med betingelse ("X skal altid med"): fastlæg X og vælg de resterende fra den reducerede pulje.

Formler

Multiplikationsprincippet

Antal muligheder = \(n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k\)

Permutation (ordnet udvalg)

\(P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)

Kombination (uordnet udvalg)

\(K(n,r) = \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

Eksempler

EksempelVælg 3 elever fra en klasse på 25▼

1

Rækkefølgen er ligegyldig → kombination
\(\binom{25}{3} = \frac{25!}{3!\cdot 22!} = \frac{25\cdot24\cdot23}{3\cdot2\cdot1} = \textcolor{#ef4444}{2300}\)

Eksempel 2Permutation: 8 løbere — podiet (1., 2., 3.)▼

1

Rækkefølgen betyder noget → permutation
\(P(8,3) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = \textcolor{#ef4444}{336}\)

Eksempel 3 — betingelseVælg 4 fra 10, men 2 bestemte skal ALTID med.▼

1

De 2 er fastlagte — vælg de resterende 2 fra de 8 andre
\(\binom{8}{2} = \dfrac{8\cdot7}{2\cdot1} = \textcolor{#ef4444}{28}\)

💡 Tip: Spørg dig selv: "Er rækkefølgen vigtig?" Ja → permutation. Nej → kombination.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Kombination \(\binom{n}{k}\): rækkefølgen er LIGEGYLDIG — "vælg k ud af n"
Permutation \(P(n,k)\): rækkefølgen BETYDER noget — "k pladser ud af n"
Betingelse: X skal altid med → vælg de resterende fra \(n-1\)

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Bruger permutation når rækkefølgen er ligegyldig — giver for stort svar
\(\binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35\) — vælg altid den mindste k for nemmere beregning
Glemmer at dividere med \(k!\) i kombinationsformlen

Sandsynlighedsfordeling

Diskrete fordelinger — sandsynligheder, middelværdi og varians

En diskret sandsynlighedsfordeling beskriver en stokastisk variabel ved at angive sandsynligheden for hvert muligt udfald. Alle sandsynligheder skal summere til præcis 1.

Middelværdien \(\mu = E(X)\) er det forventede gennemsnit over mange gentagelser — det behøver ikke selv at være et muligt udfald (fx er terningens middelværdi 3,5).

Husk: \(P(A|B) eq P(B|A)\) — rækkefølgen i betinget sandsynlighed betyder noget!

Formler

Sandsynlighedskrav

\(\sum P(X=x_i) = 1 \quad\text{og}\quad 0 \leq P(X=x_i) \leq 1\)

Middelværdi

\(\mu = E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\)

Varians

\(\sigma^2 = \sum (x_i-\mu)^2 \cdot P(X=x_i)\)

Eksempler

EksempelTerning med P(1)=P(2)=...=P(6)=1/6▼

1

Middelværdi
\(\mu = 1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+\ldots+6\cdot\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \textcolor{#ef4444}{3{,}5}\)

Eksempel 2Betinget sandsynlighed. \(P(A)=0{,}4\), \(P(B|A)=0{,}3\), find \(P(A\cap B)\)▼

1

Brug definitionen
\(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

2

Isolér
\(P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0{,}3 \cdot 0{,}4 = \textcolor{#ef4444}{0{,}12}\)

Eksempel 3 — total sandsynlighed\(P(A)=0{,}6\), \(P(B|A)=0{,}3\), \(P(B|\overline{A})=0{,}1\). Find \(P(B)\).▼

1

Brug totalsandsynlighed — to veje til B
\(P(B) = P(B|A)\cdot P(A) + P(B|\overline{A})\cdot P(\overline{A})\)

2

Indsæt: \(P(\overline{A}) = 1-0{,}6 = 0{,}4\)
\(P(B) = 0{,}3\cdot0{,}6 + 0{,}1\cdot0{,}4 = 0{,}18 + 0{,}04\)

3

Svar
\(P(B) = \textcolor{#ef4444}{0{,}22}\)

💡 Tip: Middelværdien er det forventede gennemsnit ved mange gentagelser. Den behøver ikke være en mulig værdi.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Betinget: "givet at A er sket" — brug \(P(B|A) = P(A\cap B) / P(A)\)
Uafhængige hændelser: \(P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Total sandsynlighed: \(P(B) = P(B|A)\cdot P(A) + P(B|\overline{A})\cdot P(\overline{A})\)

⚠️ Klassiske eksamensfejl

\(P(A|B) \neq P(B|A)\) — rækkefølgen i betinget sandsynlighed betyder noget!
Komplementet: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) — ikke \(P(A) - 1\)
Summere sandsynligheder der ikke er disjunkte uden at trække \(P(A\cap B)\) fra

Eksponentiel vækst

\(f(x)=b\cdot a^x\) — fremskrivningsfaktor, fordoblingstid og halveringstid

Eksponentiel vækst bruges, når noget vokser (eller aftager) med en fast procent pr. tidsenhed. Grafen er en kurve — ikke en ret linje.

Forskellen på lineær og eksponentiel: Lineær lægger det samme til igen og igen (+100 kr./år). Eksponentiel ganger med det samme tal igen og igen (×1,05 hvert år). Eksponentiel vækst accelererer — lineær vækst gør ikke.

Fremskrivningsfaktoren er altid \(a = 1 + r\) — aldrig \(r\) alene. 5% vækst: \(a = 1{,}05\).

Formler

Eksponentiel funktion

\(f(x) = b \cdot a^x\), hvor \(b=f(0)\) og \(a > 0\)

Vækstrate

\(r = a-1\) (vækst når \(a>1\), henfald når \(0

Fordoblingstid

\(T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln a}\)

Halveringstid

\(T_{1/2} = \dfrac{\ln\frac{1}{2}}{\ln a} = \dfrac{-\ln 2}{\ln a}\)

Eksempler

EksempelEn bakteriekoloni vokser 15% pr. time fra 200▼

1

Opstil forskrift
\(b=200,\; r=0{,}15 \Rightarrow a=1{,}15\)
\(f(x) = 200\cdot 1{,}15^x\)

2

Fordoblingstid
\(T_2 = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}15} = \frac{0{,}693}{0{,}140} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}96\text{ timer}}\)

Eksempel 2Eksponentiel model \(f(t)=b\cdot a^t\). Find a og b fra \(f(0)=500\) og \(f(3)=4000\)▼

1

Find b fra \(f(0)\)
\(b = f(0) = 500\)

2

Find a fra \(f(3)\)
\(4000 = 500 \cdot a^3 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2\)

3

Forskriften
\(f(t) = 500 \cdot \textcolor{#ef4444}{2^t}\)

Eksempel 3 — henfaldEt stof nedbrydes med 8% pr. time. Start: 500 g. Find halveringstid.▼

1

Opstil forskrift
\(a = 1 - 0{,}08 = 0{,}92\) \(f(t) = 500\cdot 0{,}92^t\)

2

Halveringstid
\(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{-\ln 0{,}92} = \dfrac{0{,}693}{0{,}0834} \approx \textcolor{#ef4444}{8{,}3 \text{ timer}}\)

⚠️ Faldgrube: 15% vækst → \(a = 1{,}15\), ikke \(0{,}15\). Fremskrivningsfaktoren er altid \(1 + r\).

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

\(f(x) = b \cdot a^x\): \(b\) er startværdien (\(f(0)\)), \(a\) er vækstfaktoren
Fordoblings-/halveringskonstant: løs \(a^T = 2\) (fordobling) for T
Procent-vækst: vækstrate \(r = a - 1\) — f.eks. \(a=1{,}05 \Rightarrow 5\%\) vækst pr. enhed

⚠️ Klassiske eksamensfejl

\(a = 1 + r\) — husk at \(a\) er vækstfaktoren, ikke selve procenten
Startværdi er \(f(0) = b \cdot a^0 = b\) — \(a^0 = 1\) altid
\(\ln(a^t) = t \cdot \ln(a)\) — potensen rykker ned som faktor ved logaritmering

Monotoniforhold og ekstrema

Find hvor funktionen er voksende/aftagende og bestem ekstrema

Monotoniforhold handler om, hvornår funktionen vokser og hvornår den aftager. Svaret findes ved at analysere fortegnet på den afledte.

Fremgangsmåde: differentier → find nulpunkter for \(f'(x)\) → lav fortegnsskema med alle nulpunkter → aflæs voksende/aftagende og ekstrema.

Vigtig detalje: et nulpunkt for \(f'(x)\) er IKKE altid et ekstrema — det kan være et vendetangentpunkt, hvis \(f'\) ikke skifter fortegn.

Formler

Voksende/aftagende

\(f'(x)>0 \Rightarrow f\) voksende. \(f'(x)<0 \Rightarrow f\) aftagende.

Stationære punkter

Løs \(f'(x) = 0\)

Maksimum/minimum

Fortegnsskifte i \(f'(x)\): \(+\to-\) = maks, \(-\to+\) = min

Eksempler

Eksempel\(f(x) = x^3 - 3x\)▼

1

Differentier
\(f'(x) = 3x^2-3\)

2

Løs \(f'(x)=0\)
\(3x^2-3=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=-1\) eller \(x=1\)

3

Fortegnsskema
\(f'(x)>0\) for \(x<-1\) og \(x>1\), \(f'(x)<0\) for \(-1Lokal maks i \(\textcolor{#ef4444}{(-1,2)}\), lokal min i \(\textcolor{#ef4444}{(1,-2)}\)

Eksempel 2Monotoni for \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\)▼

1

Find den afledte
\(f\'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2-2x-3) = 3(x-3)(x+1)\)

2

Find nulpunkter
\(f\'(x) = 0 \Rightarrow x = 3\) og \(x = -1\)

3

Fortegnsanalyse
Voksende: \((-\infty,-1)\) og \((3,\infty)\). Aftagende: \((-1,3)\)

Eksempel 3 — fortegnsskemaOpstil fortegnsskema for \(f\'(x) = 3(x-3)(x+1)\)▼

1

Nulpunkter for f': x = −1 og x = 3
Del tallinjen op: \((-\infty,-1)\), \((-1,3)\), \((3,\infty)\)

2

Bestem fortegn i hvert interval
Testpunkt \(x=-2\): \(3(-5)(-1) = +15 > 0\) → voksende
Testpunkt \(x=0\): \(3(-3)(1) = -9 < 0\) → aftagende
Testpunkt \(x=4\): \(3(1)(5) = +15 > 0\) → voksende

3

Konklusion
Lokal maks ved \(x=-1\) (+ → −) Lokal min ved \(x=3\) (− → +)

💡 Tip: Lav altid et fortegnsskema — det giver overblik og viser monotoniforholdene tydeligt.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Voksende: \(f\'(x) > 0\), aftagende: \(f\'(x) < 0\), stationært: \(f\'(x) = 0\)
Opstil fortegnsskema med alle nulpunkter for \(f\'(x)\)
Lokalt maks/min: fortegnet på \(f\'\) skifter fra +/− til −/+

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Forveksler voksende/aftagende: voksende = \(f\' > 0\), aftagende = \(f\' < 0\)
Glemmer at inkludere endepunkterne i monotoniintervallerne
Nulpunkt for \(f\'\) er IKKE altid et ekstrema — det kan være et vendetangentpunkt

Tangentligning

Find tangentlinjen til en graf i et givet punkt

En tangent er den bedste lineære approksimation af kurven i et punkt. Den rører kurven i præcis ét punkt og har samme hældning som kurven der.

Du skal bruge to ting: hældningen \(f'(x_0)\) og punktet \((x_0, f(x_0))\). Indsæt begge i punkt-hældningsformlen \(y = f'(x_0)\cdot(x-x_0) + f(x_0)\).

Formler

Tangentligning i \((x_0, f(x_0))\)

\(y = f'(x_0)\cdot(x - x_0) + f(x_0)\)

Eksempler

EksempelTangent til \(f(x)=x^2+1\) i \(x_0=2\)▼

1

Find \(f(x_0)\) og \(f'(x_0)\)
\(f(2) = 4+1 = 5\)
\(f'(x)=2x \Rightarrow f'(2)=4\)

2

Indsæt i formlen
\(y = 4(x-2)+5 = \textcolor{#ef4444}{4x-3}\)

Eksempel 2Tangent til \(f(x) = \sqrt{x}\) i punktet \((4, 2)\)▼

1

Find hældningen
\(f\'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f\'(4) = \dfrac{1}{4}\)

2

Tangentligningen
\(y - 2 = \dfrac{1}{4}(x-4) \Rightarrow y = \dfrac{1}{4}x + \textcolor{#ef4444}{1}\)

Eksempel 3 — horisontal tangentFind x-koordinat for horisontal tangent til \(f(x) = x^3 - 3x\)▼

1

Horisontal tangent: hældning = 0 → sæt f′(x) = 0
\(f\'(x) = 3x^2-3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)

2

To horisontale tangenter
Ved \(x=-1\): tangent i \((-1, 2)\) Ved \(x=1\): tangent i \(\textcolor{#ef4444}{(1,-2)}\)

⚠️ Faldgrube: Husk at \(x_0\) er røringspunktet, ikke et vilkårligt punkt. Du skal kende det specifikke \(x_0\).

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Tangent i punkt \((x_0, f(x_0))\): \(y = f\'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)\)
Horisontal tangent: sæt \(f\'(x) = 0\) og løs
To kurver med fælles tangent: sæt funktionsværdier og afledte lig hinanden

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Glemmer at beregne \(f(x_0)\) — punktet på grafen skal med i formlen
Bruger \(f(x)\) i stedet for \(f\'(x)\) som hældning
Tangent ≠ sekant — tangenten rører kurven i ét punkt, sekanten skærer i to

Linjer og skæring

Parameterfremstilling, skæringspunkt og parallelitet

Linjer i planen beskrives enten ved \(y = ax + b\) (hældning-skæring) eller ved \(ax + by + c = 0\) (normalform). Skæringspunkter mellem linjer findes ved at sætte ligningerne lig hinanden og løse.

Husk: \(b\) er y-aksens skæring (sæt \(x=0\)). Hældningen beregnes som \(a = rac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) — tæller er y-forskel, nævner er x-forskel.

Formler

Linjens ligning

\(y = ax+b\) eller \(ax+by+c=0\)

Parameterfremstilling

\(\binom{x}{y} = \binom{x_0}{y_0} + t\cdot\binom{r_1}{r_2}\)

Normalvektor

Til linjen \(ax+by+c=0\): \(\vec{n}=\binom{a}{b}\)

Eksempler

EksempelSkæring mellem \(y=2x+1\) og \(y=-x+7\)▼

1

Sæt lig hinanden
\(2x+1=-x+7 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2\)

2

Find y
\(y=2\cdot 2+1=\textcolor{#ef4444}{5}\). Skæringspunkt: \(\textcolor{#ef4444}{(2,5)}\)

Eksempel 2Skæring mellem \(y=2x-1\) og \(y=-x+5\)▼

1

Sæt lig hinanden
\(2x-1 = -x+5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)

2

Find y
\(y = 2\cdot 2-1 = \textcolor{#ef4444}{3}\)

3

Svar
Skæringspunkt: \((2, 3)\)

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Hældning-skæring: \(y = ax+b\) — \(a\) er hældning, \(b\) er skæring med y-aksen
To punkter: \(a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), derefter find \(b\) ved indsætning
Parallelle linjer: samme hældning \(a\), forskellig \(b\)

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Forveksler hældning og skæringspunkt: \(b\) er y-aksens skæring (sæt \(x=0\))
Hældningsformel: \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) — tæller er y, nævner er x
Lodrette linjer: \(x = k\) har INGEN hældning (udefineret)

Afstand punkt–linje

Vinkelret afstand fra punkt til linje

Afstandsformlen giver den korteste (vinkelrette) afstand fra et punkt til en linje. Linjen SKAL stå på formen \(ax + by + c = 0\) — omskriv altid FØR brug.

Absolutværdien i tælleren sikrer, at afstanden er positiv uanset hvilken side punktet er på. Det er den eneste formel der bruges — den er direkte og nem, men linjeformen er afgørende.

Formler

Afstand fra punkt til linje

\(\text{dist}(P, l) = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Linje: \(ax+by+c=0\), Punkt: \(P=(x_0,y_0)\)

Eksempler

EksempelAfstand fra \(P=(3,1)\) til \(2x-y+4=0\)▼

1

Indsæt i formlen
\(\text{dist} = \frac{|2\cdot3+(-1)\cdot1+4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|6-1+4|}{\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \textcolor{#ef4444}{\frac{9\sqrt{5}}{5}\approx 4{,}02}\)

Eksempel 2Afstand fra \(P(3,1)\) til linjen \(2x-y+4=0\)▼

1

Brug formlen direkte
\(d = \dfrac{|2\cdot3 - 1\cdot1 + 4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)

2

Beregn
\(d = \dfrac{|6-1+4|}{\sqrt{5}} = \dfrac{9}{\sqrt{5}} = \dfrac{9\sqrt{5}}{5} \approx \textcolor{#ef4444}{4{,}02}\)

Eksempel 3 — omskrivning FØR brugAfstand fra \(P(2,5)\) til linjen \(y = 3x - 1\)▼

1

Omskriv til normalform
\(y = 3x-1 \Rightarrow 3x - y - 1 = 0\)

2

Brug formlen med a=3, b=−1, c=−1
\(d = \dfrac{|3\cdot2 + (-1)\cdot5 + (-1)|}{\sqrt{9+1}} = \dfrac{|6-5-1|}{\sqrt{10}} = \dfrac{0}{\sqrt{10}}\)

3

Afstand = 0 → P ligger PÅ linjen!
\(d = \textcolor{#ef4444}{0}\) Tjek: \(y = 3\cdot2-1 = 5\) ✓

⚠️ Faldgrube: Linjen SKAL stå på formen \(ax+by+c=0\). Omskriv altid \(y=ax+b\) først!

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Formel: \(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) — linjen skal stå på formen \(ax+by+c=0\)
Omskriv linjen til normalform FØR du bruger formlen
Absolutværdien sikrer at afstanden altid er positiv

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Linjen skal have formen \(ax+by+c=0\) — omskriv \(y=2x+3\) til \(-2x+y-3=0\)
Glemmer absolutværdi i tælleren — afstand er altid \(\geq 0\)
\(\sqrt{a^2+b^2}\) i nævneren — ikke \(a+b\) eller \(a^2+b^2\)

Vinkel mellem linjer

Find den spidse vinkel mellem to linjer

Vinklen mellem to linjer eller vektorer finder man med skalarproduktet. Absolutværdien i formlen sikrer at man altid får den spidse vinkel (mellem 0° og 90°).

Husk: \(rccos\) på lommeregneren giver svar i radianer — omregn med \(\cdot frac{180°}{\pi}\). Ortogonale linjer har skalarprodukt 0 og vinkel 90°.

Formler

Vinkel via normalvektorer

\(\cos v = \dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}\)

Vinkel via hældninger

\(\tan v = \left|\dfrac{a_1-a_2}{1+a_1\cdot a_2}\right|\)

Eksempler

Eksempel\(l_1: 3x-y+2=0\) og \(l_2: x+2y-5=0\)▼

1

Normalvektorer
\(\vec{n}_1=\binom{3}{-1},\quad \vec{n}_2=\binom{1}{2}\)

2

Beregn vinkel
\(\cos v = \frac{|3\cdot1+(-1)\cdot2|}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} \Rightarrow v = \textcolor{#ef4444}{81{,}9°}\)

Eksempel 2Vinkel mellem \(\vec{a}=\binom{3}{1}\) og \(\vec{b}=\binom{1}{4}\)▼

1

Skalarprodukt
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot1 + 1\cdot4 = 7\)

2

Længder
\(|\vec{a}| = \sqrt{10}\), \(|\vec{b}| = \sqrt{17}\)

3

Vinkel
\(\cos\theta = \dfrac{7}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{17}} \Rightarrow \theta \approx \textcolor{#ef4444}{57{,}5°}\)

💡 Tip: Brug absolut-værdi i tælleren for altid at få den spidse vinkel. Parallelle linjer har vinkel 0°, vinkelrette har 90°.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

\(\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) — resultatet er altid i \([0°,180°]\)
Ortogonale vektorer: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \Leftrightarrow \theta = 90°\)
Vinkel mellem linjer: brug retningsvektorerne — vinkel mellem linjer er altid \(\leq 90°\)

⚠️ Klassiske eksamensfejl

\(\arccos\) giver vinkel i radianer på lommeregner — omregn: \(\cdot \dfrac{180°}{\pi}\)
Glemmer at dividere med BEGGE vektorlængder i formlen
Vinkel mellem linjer \(\neq\) vinkel mellem vektorer hvis resultatet er \(> 90°\)

Lineær regression

Bedste rette linje gennem datapunkter

Lineær regression finder den "bedst passende" rette linje \(\hat{y} = ax + b\) gennem et datasæt. Linjen minimerer summen af de kvadrerede afvigelser — metoden hedder mindste kvadraters metode.

Korrelationskoefficienten \(r\) angiver styrken af den lineære sammenhæng: \(|r|\) nær 1 = stærk, nær 0 = svag. \(R^2 = r^2\) er forklaringsgraden — andelen af variation forklaret af modellen.

Brug altid lommeregneren/CAS til at beregne \(a\), \(b\) og \(r\). Det vigtige er at fortolke resultaterne i konteksten.

Formler

Regressionslinje

\(\hat{y} = ax+b\) (mindste kvadraters metode)

Korrelationskoefficient

\(r \in [-1,1]\). \(|r|\) tæt på 1 = stærk lineær sammenhæng.

Forklaringsgrad

\(R^2 = r^2\). Angiver hvor stor en andel af variationen der forklares.

Eksempler

EksempelDatasæt med \(r=0{,}97\)▼

1

Fortolk
\(r=0{,}97\) tæt på 1 → stærk positiv lineær sammenhæng.
\(R^2 = 0{,}94\) → 94% af variationen forklares af modellen.

Eksempel 2Fortolkning: \(\hat{y} = 2{,}3x + 14{,}5\), \(r = 0{,}94\)▼

1

Hældning
For hver ekstra enhed i x stiger y med \(2{,}3\) enheder

2

Korrelation
\(r = 0{,}94\) — stærk positiv lineær sammenhæng

3

Forudsigelse ved \(x=10\)
\(\hat{y} = 2{,}3\cdot10 + 14{,}5 = \textcolor{#ef4444}{37{,}5}\)

Eksempel 3 — kausalitet\(r = 0{,}89\) mellem is-salg og druknedøde. Hvad betyder det?▼

1

Stærk positiv korrelation
\(r = 0{,}89\) tyder på stærk lineær sammenhæng

2

Men: korrelation er IKKE kausalitet!
Begge skyldes en tredje faktor — varmt vejr. Is-salg forårsager ikke druknedøde. Regression beskriver sammenhæng, ikke årsag.

💡 Tip: Brug altid CAS/lommeregner til at bestemme a, b og r. Husk at fortolke a og b i konteksten.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Find \(a\) og \(b\) i \(\hat{y}=ax+b\) med regression på lommeregneren
Korrelationskoefficient \(r\): tæt på \(\pm 1\) = stærk sammenhæng, tæt på 0 = svag
Fortolkning: \(a\) angiver ændring i y pr. enhed i x

⚠️ Klassiske eksamensfejl

\(r^2\) er determinationskoefficienten — \(r\) er selve korrelationskoefficienten
Kun lineær regression kan bruges — tjek om punktskyen ligner en ret linje
Ekstrapolation: brug ikke modellen langt uden for dataintervallet

Binomialfordeling

\(X \sim b(n,p)\) — fast antal forsøg med to udfald

Binomialfordelingen bruges, når et forsøg gentages \(n\) gange under præcis de samme betingelser, og hvert forsøg har to mulige udfald: "succes" (sandsynlighed \(p\)) eller "fiasko".

De fire betingelser: fast \(n\), to udfald, uafhængige forsøg, konstant \(p\). Tjek at de alle er opfyldt, inden du bruger formlen.

\(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\) — husk at trække 1 fra i grænsen ved komplementregning.

Formler

Punktsandsynlighed

\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)

Middelværdi

\(\mu = n\cdot p\)

Spredning

\(\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\)

Eksempler

Eksempel10 kast med mønt: \(P(X=7)\)▼

1

Identificér
\(n=10,\; p=0{,}5,\; k=7\)

2

Beregn
\(P(X=7) = \binom{10}{7}\cdot 0{,}5^7\cdot 0{,}5^3 = 120\cdot\frac{1}{1024} = \textcolor{#ef4444}{0{,}117}\)

Eksempel 2\(X\sim B(10, 0{,}3)\). Find \(P(X \leq 3)\)▼

1

Brug kumulativ binomialfordeling
\(P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{10}{k} 0{,}3^k \cdot 0{,}7^{10-k}\)

2

Lommeregner
\(P(X\leq 3) \approx \textcolor{#ef4444}{0{,}650}\)

Eksempel 3 — P(X ≥ k)\(X\sim B(10, 0{,}3)\). Find \(P(X \geq 4)\)▼

1

Brug komplementet
\(P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)\)

2

Vi ved P(X ≤ 3) ≈ 0,650
(fra Eksempel 2)

3

Svar
\(P(X \geq 4) = 1 - 0{,}650 = \textcolor{#ef4444}{0{,}350}\)

⚠️ Faldgrube: \(P(X\geq k)\) kræver ofte at man bruger \(1-P(X\leq k-1)\). Brug CAS til kumulative sandsynligheder.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

\(X \sim B(n,p)\): \(n\) forsøg, \(p\) er sandsynlighed for "succes" per forsøg
Formel: \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
Kumulativ: \(P(X \leq k)\) — summer alle sandsynligheder fra 0 til k

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Forveksler \(P(X=k)\) og \(P(X\leq k)\) — læs spørgsmålet nøje
\(P(X > k) = 1 - P(X \leq k)\) — brug komplementet
Forsøgene skal være uafhængige og \(p\) konstant — tjek konteksten

Konfidensinterval

Estimér en ukendt parameter med et interval

Et konfidensinterval giver en interval, der med en given sandsynlighed (konfidensniveauet) indeholder den sande populationsparameter. Det udtrykker usikkerheden på en stikprøveestimator.

Fortolkning af 95%-interval: Hvis vi gentog stikprøven mange gange og beregnede intervallet hver gang, ville 95% af intervallerne indeholde den sande parameter \(\mu\).

Større stikprøve \(n\) → smallere interval (mere præcist). Bredden afhænger af \(n\) og \(\hat{p}\) — ikke af populationsstørrelsen.

Formler

Konfidensinterval for andel p

\(\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)

95%-interval (\(z=1{,}96\))

\(\hat{p} \pm 1{,}96\cdot\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)

Eksempler

Eksempel120 ud af 400 svarer ja (\(\hat{p}=0{,}30\))▼

1

Beregn usikkerhed
\(1{,}96\cdot\sqrt{\frac{0{,}30\cdot 0{,}70}{400}} = 1{,}96\cdot 0{,}0229 = 0{,}045\)

2

Interval
\(0{,}30 \pm 0{,}045 \Rightarrow \textcolor{#ef4444}{[0{,}255;\; 0{,}345]}\)

Eksempel 295%-konfidensinterval. \(n=100\), \(\bar{x}=47{,}2\), \(s=8{,}3\)▼

1

Standardfejl
\(SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{8{,}3}{\sqrt{100}} = 0{,}83\)

2

Interval
\(\bar{x} \pm 1{,}96 \cdot SE = 47{,}2 \pm 1{,}63\)

3

Svar
\([\textcolor{#ef4444}{45{,}6};\; 48{,}8]\)

Eksempel 3 — 99% intervalSamme data: \(\hat{p}=0{,}30\), \(n=400\). Beregn 99%-KI.▼

1

z-værdi for 99%: z = 2,576
\(2{,}576 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}30\cdot0{,}70}{400}} = 2{,}576\cdot0{,}0229 = 0{,}059\)

2

99%-KI er bredere end 95%-KI
\([0{,}241;\;0{,}359]\) Højere konfidensniveau → bredere interval

💡 Fortolkning: Vi er 95% sikre på at den sande andel ligger i intervallet. Større stikprøve → smallere interval.

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

95%-interval: \(\bar{x} \pm 1{,}96 \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}\)
Større stikprøve \(n\) → smallere interval (mere præcis)
Fortolkning: vi er 95% sikre på at \(\mu\) ligger i intervallet

⚠️ Klassiske eksamensfejl

\(1{,}96\) er z-værdien for 95% — for 99% bruges \(2{,}576\)
Divider med \(\sqrt{n}\) — ikke \(n\)
Konfidensinterval handler om middelværdien \(\mu\), ikke en enkelt observation

Optimering

Find det bedste — maksimer eller minimér med differentialregning

Optimering handler om at finde det x der maksimerer eller minimerer en funktion. Teknikken er differentialregning: stationære punkter (\(f'(x)=0\)) er kandidater til ekstrema.

Strategien ved tekstopgaver: opstil en funktion for det der skal optimeres → brug en bibetingelse til at reducere til ét variabel → differentier og sæt lig 0 → verificer med fortegnsskema → giv svaret i konteksten.

Glem ikke at tjekke endepunkterne, hvis domænet er et lukket interval.

Fremgangsmåde

Trin 1

Opstil en funktion \(f(x)\) der beskriver det, du vil optimere

Trin 2

Differentier: \(f'(x) = 0\) → find stationære punkter

Trin 3

Lav fortegnsskema for at verificere maks/min

Eksempler

EksempelRektangel med omkreds 20 — maksimalt areal▼

1

Opstil
\(2x+2y=20 \Rightarrow y=10-x\)
\(A(x) = x(10-x) = 10x-x^2\)

2

Differentier
\(A'(x)=10-2x=0 \Rightarrow x=5\)

3

Svar
\(A(5) = 5\cdot 5 = \textcolor{#ef4444}{25}\). Maksimalt areal er et kvadrat med sidelængde 5.

Eksempel 2Rektangel med omkredsindskrænkning \(2x+2y=20\). Maks areal?▼

1

Udtryk y ved x
\(y = 10-x\)

2

Arealet
\(A(x) = x(10-x) = 10x - x^2\)

3

Differentier og sæt lig 0
\(A\'(x) = 10-2x = 0 \Rightarrow x = 5\)

4

Svar
\(A_{\max} = 5\cdot 5 = \textcolor{#ef4444}{25}\)

Eksempel 3 — med murEn bonde indhegner et rektangel ved en mur. 100 m hegn. Muren er én side. Maks areal?▼

1

Kun 3 sider med hegn — muren er gratis
\(x + x + l = 100 \Rightarrow l = 100 - 2x\)

2

Arealfunktion
\(A(x) = x\cdot(100-2x) = 100x - 2x^2\)

3

Differentier og sæt lig 0
\(A\'(x) = 100-4x = 0 \Rightarrow x = 25\)
\(A_{\max} = 25\cdot50 = \textcolor{#ef4444}{1250 \text{ m}^2}\)

⚠️ Faldgrube: Glem ikke at tjekke at det stationære punkt faktisk er et maksimum og ikke et minimum (brug fortegnsskema).

Genkend opgavetypen

🔍 Sådan ser den ud til eksamen

Opstil en funktion for det der skal optimeres (maks/min)
Brug en bibetingelse til at reducere til ét variabel
Find kritisk punkt ved \(f\'(x) = 0\), bekræft maks/min med fortegnskema

⚠️ Klassiske eksamensfejl

Glemmer at definere domænet — hvad er de gyldige værdier af x?
Kritisk punkt kan være minimum i stedet for maksimum — tjek med fortegnskema
Indsæt x tilbage for at finde den optimale y-værdi og svaret

Velkommen til MatematikA

Forbered dig tilMat B eksamen

Lineære ligninger

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Differentiering

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Algebra

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Andengradspolynomium

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Genkend opgavetypen

Cirklens ligning

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Vektorer i planen

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Kombinatorik

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Sandsynlighedsfordeling

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Eksponentiel vækst

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Monotoniforhold og ekstrema

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Tangentligning

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Linjer og skæring

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Afstand punkt–linje

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Vinkel mellem linjer

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Lineær regression

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Binomialfordeling

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Konfidensinterval

Formler

Eksempler

Genkend opgavetypen

Optimering

Fremgangsmåde

Eksempler

Genkend opgavetypen

Forbered dig til
Mat B eksamen